Должна ли СРО опубликовывать какую-либо информацию о себе? Какую конкретно?

Да, должна.
В соответствии со статьей 7 Федерального закона "О саморегулируемых организациях" № 315-ФЗ от 01.12.2007 года, саморегулируемая организация посредством опубликования в средствах массовой информации и (или) размещения в информационно-телекоммуникационных сетях обязана обеспечить доступ к информации, указанной в данной статье:
1) о составе своих членов;
2) об условиях, о способах и порядке обеспечения ответственности членов саморегулируемой организации перед потребителями произведенных ими товаров (работ, услуг) и иными лицами;
3) о членах, прекративших свое членство в саморегулируемой организации, и об основаниях прекращения их членства, а также о субъектах предпринимательской или профессиональной деятельности, вступивших в саморегулируемую организацию;
4) об условиях членства в саморегулируемой организации;
5) о содержании стандартов и правил саморегулируемой организации;
6) о структуре и компетенции органов управления и специализированных органов саморегулируемой организации;
7) о решениях, принятых общим собранием членов саморегулируемой организации и постоянно действующим коллегиальным органом управления саморегулируемой организации;
8) о случаях привлечения членов саморегулируемой организации к ответственности за нарушение требований законодательства Российской Федерации в части осуществления предпринимательской или профессиональной деятельности, стандартов и правил саморегулируемой организации (при наличии такой информации);
9) о любых исках и заявлениях, поданных саморегулируемой организацией в суды;
10) о составе и стоимости имущества компенсационного фонда саморегулируемой организации;
11) об аттестатах, выданных членам саморегулируемой организации или их работникам по результатам обучения, в случае, если саморегулируемая организация осуществляет аттестацию работников членов такой саморегулируемой организации;
12) о ходе и результатах экспертизы нормативного правового акта, в проведении которой саморегулируемая организация принимала участие;
13) о результатах проведенных саморегулируемой организацией проверок деятельности членов саморегулируемой организации;
14) о годовой бухгалтерской отчетности саморегулируемой организации и результатах ее аудита;
15) иную предусмотренную федеральными законами и саморегулируемой организацией информацию.

В соответствии со статьей 55.9. Градостроительного кодекса РФ, саморегулируемая организация в целях обеспечения доступа к информации о своей деятельности и деятельности своих членов наряду с информацией, предусмотренной Федеральным законом "О саморегулируемых организациях", обязана размещать на своем сайте в сети "Интернет" следующую информацию и документы:
1) наименование, адрес (место нахождения) и номера контактных телефонов саморегулируемой организации;
2) наименование, адрес и номера контактных телефонов органа надзора за саморегулируемыми организациями;
3) наименование, адрес (место нахождения) и номера контактных телефонов некоммерческих организаций, членом которых является саморегулируемая организация;
4) перечень видов работ, которые оказывают влияние на безопасность объектов капитального строительства и решение вопросов по выдаче свидетельства о допуске к которым отнесено общим собранием членов саморегулируемой организации к сфере деятельности саморегулируемой организации;
5) реестр членов саморегулируемой организации;
6) размер и порядок формирования компенсационного фонда саморегулируемой организации, перечень выплат из средств этого фонда, осуществленных по обязательствам своих членов;
7) размеры вступительного и регулярных членских взносов и порядок их уплаты;
8) документы, принятые общим собранием членов саморегулируемой организации или постоянно действующим коллегиальным органом управления саморегулируемой организации;
9) состав постоянно действующего коллегиального органа управления саморегулируемой организации.
Таким образом, саморегулируемая организация должна обеспечить доступ к информации, которая является обязательной для размещения, в соответствии с Законом "О саморегулируемых организациях" и Градостроительным кодексом РФ.